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明安圖，字靜庵，蒙古正白旗人。官欽天監監正。受數學於聖祖，預修禦定歷象考成後編、禦定儀象考成。因西士杜德美用連比例演周徑密率及求正弦、正矢之法，知其理深奧，索解未易，因積思三十餘年，著割圜密率捷法四卷。一曰步法，於杜氏三法外，補創弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。又弦、矢求弧背，並通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。其弦求弧背法，以弦為連比例二率，半徑為一率，求得二、四、六、八、十諸率，以一、三、五、七、九之五數各自乘，為累次乘數。二、三、四、五、六、七、八、九相挨，兩兩相乘，為累次除數，即用二率為第一得數。復置四率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置六率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置八率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位止，乃★之，即所求之弧背也。矢求弧背法，倍正矢為連比例三率，亦以半徑為一率，求得五、七、九、十一諸率。以一、二、三、四、五之五數各自乘，為屢次乘數，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，兩兩相乘，為屢次除數，即用三率為第一得數。復置五率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置七率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置九率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位而止。開平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。矢求弧背，則三率又多加一四。因更創餘弧求弦矢，餘弦矢求本弧，及借弧與正、餘弦互求四術。二曰用法，以角度求八綫，及直線、弧線、三角形邊角相求，共設七題。謂今法所以密於古者，以用三角形也。然三角形非用八綫表不能相求，惟用此法，以之立表則甚易，以之推三角形，則不用表而得數同。三、四兩卷曰法解，皆闡明弦、矢與弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之數，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之數，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之數。又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得萬分。遂以半徑為一率，一分弧通弦為二率，各如相乘之率數，求得十、百、千、萬諸分弧率數。比例得弧背求通弦，應減四率二十四分之一，加六率八十分之一，減八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，減十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，減十六率八百四十分之一。各四歸之，則二十四得六，為二三相乘數；八十得二十，為四五相乘數；一百六十八得四十二，為六七相乘數；二百八十八得七十二，為八九相乘數；四百四十得一百一十，為十與十一相乘數；六百二十四得一百五十六，為十二與十三相乘數；八百四十得二百一十，為十四與十五相乘數。故以二、三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一萬一千二十五分，十二率八十九萬三千二十五分，十四率一億八百五萬六千二十五分，得後率分數為實。各遞降二等，使二率降為四率，四率降為六率，得前率分數為法。以法除實，得四率一分，為一自乘數；六率九分，為三自乘數；八率二十五分，為五自乘數；十率四十九分，為七自乘數；十二率八十一分，為九自乘數；十四率一百二十一分，為十一自乘數；十六率一百六十九分，為十三自乘數：故以一、三、五、七、九等數各自乘為屢次乘數。次求通弦法，求得十、百、千、萬諸分弧正矢率數，比例得弧背求正矢，應減五率十二分之一，加七率三十分之一，減九率五十六分之一，加十一率九十分之一，減十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，減十七率二百四十分之一；而十二為三四相乘數，三十為五六相乘數，五十六為七八相乘數，九十為九與十相乘數，一百三十二為十一與十二相乘數，一百八十二為十三與十四相乘數，二百四十為十五與十六相乘數，故以三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一萬四千四百分，十五率五十一萬八千四百分，十七率二千五百四十萬一千六百分，為後率分數，各遞降二等為前率分數。如前通弦法，除得五率一分為一自乘數，七率四分為二自乘數，九率九分為三自乘數，十一率十六分為四自乘數，十三率二十五分為五自乘數，十五率三十六分為六自乘數，十七率四十九為七自乘數，故以一、二、三、四、五等數各自乘，為屢次乘數。書未成而卒，子新續之。
新，字景臻，安圖季子。充食俸生。安圖病且革，以所著捷法授之，新遵父命，與門下士陳際新、張肱共續成之。
陳際新，字舜五，宛平諸生。官靈台郎，為監正。續明安圖割圜密率捷法，尋緒推究，質以生前面授之言。至乾隆甲午，始克成書。
劉湘煃，字允恭，江夏人。聞梅文鼎以歷算名當世，鬻產走千餘裡，受業其門，湛思積悟，多所創穫。文鼎得之甚喜，曰：「劉生好學精進，啟予不逮！」其與人書曰：「金、水二星，歷指所說未徹，得劉生說，而後二星之有歲輪，其理確不可易。」因以所著歷學疑問囑之討論，湘煃為著訂補三卷。又謂曆法自漢、唐以來，五星最疏，故其遲、留、伏、逆皆入於占，至元郭守敬出，而五星始有推步經度之法，而緯則猶未備。西法舊亦未有緯度，至地穀而後有五星緯度，已在守敬後矣。曆書有法原、法數，併為曆法統宗。法原者，七政與交食之歷指也；法數者，七政與交食經緯之表也，故歷指實為造表之根本。今歷所載金、水，歷指如其法以造表，則與所步之表不合，如其表以推算測天，則又密合，是歷雖有表數，而猶未知立表之根也。”乃作五星法象五卷，文鼎深契其說，摘其要目為五星紀要。
湘煃又欲為渾蓋通憲天盤安星之用，以戊辰歷元加歲差，用弧三角法，作恆星經緯表根一卷，及月離交均表根、黃白距度表根各一卷，皆補新法所未及也。所著又有論日、月食算稿各一卷，各省北極出地圖說一卷，答全椒吳荀淑歷算十問書一卷。
王元啟，字宋賢，號惺齋，嘉興人。乾隆辛未進士，授將樂縣知縣。究心律歷句股之學，著書已刻者為惺齋雜著。內有史記、漢書正譌兩種，其正史記之譌者，為律書、曆書、天官書各一卷；正漢書之譌者，為律歷志上下二卷。未刻者為曆法記疑、句股衍、角度衍、九章雜論。而句股衍一書，因繁求簡，最為精晰。分甲、乙、丙三集，甲集術原三卷，乙集綱要二卷，丙集晰義四卷。甲集首卷通論術原，為句股因積求邊張本。二卷專論立方，因及平方法。三卷專論和數開立方，所以盡立方諸數之變。乙集兩卷，為相求法百二十三則之綱要。丙集四卷，即相求法，逐則分晰其義，專取發明立法之意。
