第170頁
五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相併相減，兩數相乘，大邊除之，得數與大邊相加折半為分底大邊，相減餘折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對小邊角餘弦。或以小邊為一率，分底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對中邊角餘弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆為勾，中垂綫甲丁為股。勾股冪相併恆為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多於甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多於乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恆如兩方根和較相乘之數。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，餘戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅醜子，成一直方形，其長戊醜，自為大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之數。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲為半徑之比，丙丁、乙丁自為餘弦之比矣。
此五術者，有四不待算，一不可算。對邊求對角，令所知兩邊相等，則所求角與所知角必相等。對角求對邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令二邊相等，即分不等者之半為底邊；三邊相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若對邊求對角，所知一邊數少，對所知一角鋭；又所知一邊數多，求所對之角，不能知其為鋭、為鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。
弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計。九十度為足，少於九十度為小，過九十度為大。其角鋭、鈍、正與平三角等。算術有七：
一曰對邊求對角，以所知邊正弦為一率，對角正弦為二率，所知又一邊正弦為三率，求得四率，為所求對角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同於乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同於半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，求得四率，為甲角正弦。然乘除相報，可省省之。
二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊正弦為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所求對邊正弦。此其理反觀自明。
三曰兩邊夾一角，或鋭或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角餘弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對錶得度，與所知又一邊相減，餘為分邊。乃以前得度餘弦為一率，先用邊餘弦為二率，分邊餘弦為三率，求得四率，為不知之邊餘弦。原角鈍，分邊大，此邊小；分邊小，此邊大。原角鋭，分邊小，此邊小；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角餘弦之比，同於甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁於乙，而得丁乙分邊，甲乙餘弦與半徑之比，同於甲丙餘弦與丙乙餘弦之比。法當先以甲乙餘弦為一率，半徑為二率，甲丙餘弦為三率，求得四率，為丙乙餘弦。既得丙乙餘弦，半徑與乙丁餘弦之比，同於丙乙餘弦與丁丙餘弦之比。乃以半徑為一率，乙丁餘弦為二率，丙乙餘弦為三率，求得四率，為丁丙餘弦。然而乘除相報，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊餘弦相乘半徑除之，即得不知邊之餘弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。
四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。
五曰所知兩邊對所知兩角，或鋭、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任以所知一角之餘弦為二率，對所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，對錶得度。復以所知又一角、一邊如法求之，復得度。視原所知兩角鋭、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術對邊求對角，即得不知之角。原又一角鈍，對先用角之邊大於後得度，此角鈍；對先用角之邊小於後得度，此角鋭。原又一角鋭，對先用角之邊小於後得度，此角鈍；對先用角之邊大於後得度，此角鋭。此其理系垂弧在形內與在形外之不同，及角分鋭鈍，邊殊大小，前後左右俯仰向背之相應。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱鋭，兩鋭相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內。庚丙乙形，庚乙兩角，一鋭一鈍相違，垂弧丙丁，從外補正，自在形外。在形內者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之餘，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。鋭鈍大小之相應，亦如右圖審之。所知兩邊對所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。
六曰三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘為一率，半逕自乘為二率，兩邊相減餘為較弧，取其正矢與對邊之正矢相減餘為三率，求得四率，為所求角正矢。此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為醜丁。法當以甲乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對邊正矢乙卯相減餘癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二率，半徑己丁為三率，求得四率為醜丁。甲角正矢亦以乘除相報，故從省焉。
七曰三角或鋭、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復取為邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減為戊己，其度必同於次形子辛午之子辛邊，蓋醜卯為乙之角度醜點之交，甲乙弧必為正角，丁戊為甲之角度戊點之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交醜辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，於是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之餘角既皆為彼形之邊，彼形餘角不得不為此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之餘弦為二率，半徑為三率，求得四率，為對又一角之邊餘弦。此其理亦系次形，而以正角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對角之邊，取象稍異。
凡茲七術，惟邊角相求，有鋭鈍、大小不能定者，然推步無其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。
橢圓形者，兩端徑長、兩腰徑短之圓面。然必其應規，乃可推算。作之之術，任以兩點各為心，一點為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針引而旋轉，即成橢圓形。如圖甲己午三點，如法作之，為醜午巳未橢圓，寅醜、寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數如寅巳，亦同寅醜，己午如之；二數相和，恆與醜巳同。令午針引至申，甲申、申己長短雖殊，共數不易。甲午同大半徑之數如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數，即可以勾股術得不知之一數。若求面積，以平方面率四
00000000為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長方面為三率，求得四率為橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開之即得。然自甲心出線，離醜右旋，如圖至戌，甲醜、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當之角度。
角積相求，爰有四術：
