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開元占經魯歷積年之算不合，因用演積術，推其上元庚子至開元二年歲積，知占經少三千六十年。又以占經顓頊歷歲積考之史記秦始皇本紀，知其術雖起立春，而以小雪距朔之日為斷。蓋秦以十月為歲首，閏在歲終，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天調日法考古曆日法朔餘強弱不合者十六家，以為未能推算入微。爰別立術，以日法朔餘展轉相減，以得強弱之數。但使日法在百萬以上皆可求，惟朔餘過於強率者不可算耳。授時術以平定立三差求太陽盈縮，梅氏詳說未明其故。讀明志乃知即三色方程之法。謂凡兩數升降有差，彼此遞減，必得一齊同之數。引而伸之，即諸乘差，則八綫、對數、小輪、橢員諸術，皆可共貫。讀占經所載瞿曇悉達九執術，知回回、太西曆法皆源於此。其所謂高月者即月孛，月藏者即月引數，日藏者即日引數，特稱名不同，亦猶回曆稱歲實為宮日數，朔策為月分日數也。
其論婺源江氏冬至權度，推劉宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太陽實經度，而後求兩心差，乃專用壬戌。今用丁未求得兩心差，適與江氏古大今小之說相反。蓋偏取一端，其根誤在高沖行太疾也。西法用實朔距緯求食甚兩心實相距，術繁而得數未確。改以前後兩設時求食甚實引徑得兩心實相距，不必更資實朔，較本法為簡而密矣。
西人割圜，止知內容各等邊之半為正弦，而不知外切各等邊之半為正切。乃依六宗、三要、二簡諸術，別立求外切各等邊之正切法，以補其缺。杜德美求員周術，用員內容六邊形起算，巧而降位稍遲，謂內容十等邊之一邊，即理分中末綫之大分，距周較近。且十邊形之邊與周同數，不過遞進一位，而大分與全分相減即得小分，則連比例各率，可以較數取之。入算尤簡易，可用弧度入算，不用弧背真數。然猶慮其難記，仍不能無藉於表，因又合兩法用之，則術愈簡，而弧線、直線相求之理始盡。錢塘項氏割圜捷術，止有弦矢求餘綫術，以為可通之割、切二綫，因補其術。西人求對數，以正數屢次開方，對數屢次折半，立術繁重。李氏探原以尖錐發其覆，捷矣，而布算術猶繁。且所得者皆前後兩數之較，可以造表而不可徑求。戴氏簡法及西人數學啟蒙，又有新術，而未窮其理。乃變通以求二至九之八對數，因任意設數，立六術以禦之，得數皆合。復立還原四術，並推衍為和較相求八術，為自來言對數者所未有也。又謂對數之用，莫便於八綫，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用諸乘方差，迎刃而解，尤晚歲造微之詣也。其它凡近時新譯西術，如代數、微分、諸重學，皆有所糾正，類此。
所著曰算賸初、續編凡二卷。曰九數存古，依九章分為九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢諸術附焉，皆采古書而分門隷之。曰九數外錄，則隱括四術為對數、割圜、八綫、平三角、弧三角各等面體、員錐三曲綫、靜重學、動重學、流質重學、天重學，凡記十篇。曰六歷通考，則據占經所紀黃帝、顓頊、夏、殷、周、魯積年而加以考證。曰九執歷解，曰回回曆解，皆就原法疏通證明之。曰推步簡法，曰新曆推步簡法，曰五星簡法，則就原術改度為百分，省迂迴而歸簡易，蓋於學實事求是，無門戶異同之見，故析理甚精，而談算為最雲。其友人韓應陛，亦以表章算書顯。
應陛，字對虞，婁縣人。道光二十四年舉人，官內閣中書舍人。少好讀周、秦諸子，為文古質簡奧，非時俗所尚。既而從同裡姚椿遊，得望溪、惜抱相傳古文義法。西人所創點、綫、面、體之學，為幾何原本，凡十五卷，明萬曆間利譯止前六卷。鹹豐初，英人偉烈亞力續譯後九卷，海寧李壬叔寫而傳之。應陛反覆審訂，授之剞劂，亞力以為泰西舊本弗及也。外若新譯重、氣、聲、光諸學，應陛推極其致，往往為西人所未及雲。
左潛，字壬叔，大學士宗棠從子。補縣學生。於詩、古文辭無不深造，尤明算理。長沙丁取忠引為忘年交。早卒，士林惜之。所學自大衍、天元及借根方、比例諸新法，無不貫通。且能自出己意，變其式，勘其誤，作為圖解，往往突過先民。嘗增訂徐有壬割圜綴術，既成，忽悟通分捷法析分母、分子為極小數，根同者去之，凡多項通分，頃刻立就。因演數草，為通分捷法一帙。
所譔綴術補草四卷，自序曰：「自泰西杜德美創立割圜九術，以屢乘屢除通方圜之率，我朝明氏、董氏各為之說，而杜書之義，推闡靡遺。顧八綫互求，尚無通術，未足以盡一圜之變，非明氏、董氏之智力，不能因法立以盡其變也。其能窮杜氏之義也，資於借根方；其不能廣杜氏之法也，亦限於借根方。蓋借根方即天元一之變術，究不如元術之巧變莫測也。是書祖杜宗明，又旁參以董氏之法，八綫相求，各立一式，因式立法，因法入算。鄉之不可立算者，今皆能馭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，則能濟法之窮；而度圜諸綫，一以貫之矣。推其立式之由，所謂比例術，即明氏定半徑為一率，所有為二率或三率之法也。所謂還原術，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所謂借徑術，即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數，求千分全弧通弦率數諸法也。所謂商除法，又即還原術之變法。是故綴術胎於明氏，而又足以盡明氏之變。明氏之未立式者，以借根方取兩等數，其分母、分子雜糅繁重，既不可通，其多號、少號，展轉互變，又不可約。試取明氏書馭之以綴術，其遞降各率，頃刻可求。則是書也，其真能因法立法，別樹幟於明、董之後者歟？書為徐君青先生所作，吳君子登成之，顧詳於式而略於草。敬考其立法之原，不可遽得，學者難焉，潛因於暇日為補草四卷，因綴數語於簡端雲。」
又譔綴術釋明二卷，湘鄉曾紀鴻為之序，略曰：「易系雲：‘極其數遂定天下之象。’則綜天下難定之象以歸有定，莫數若矣。在昔聖神，製器尚象，利物前民，於數理必有究極精微，範圍後世者，代久年湮，漸至失傳。近三百年，泰西猶能推闡古法，而中國才智之士，或反率其成轍。孔子曰：‘天子失官，學在四夷。’正今日數學之謂也。中國舊有弧矢算術，而未標角度八綫鈐表，則雖有用其理以入算者，而無表可檢。則每求一數，必百倍其功，而所得數仍非密率。明代譯出泰西八綫表及八綫對數表，覈其立法得數之原，甚屬繁難，而成表之後，一勞永逸。大至無外，細及極微，莫不以此表測之，則其用之廣大可想。然得表之後，雖無事於再求，而任舉一數，無從較其訛誤。若仍用舊術，則非★月經旬，不能得一數，此明靜菴、董方立推演杜德美弧矢捷術之所以可貴也。向來求八綫者，例用六宗、三耍、二簡各法，若任言一弧，必不能考其弦矢諸數。至杜氏創立屢乘屢除之法，則但有弧徑，而八綫均可求。董方立解杜術，先取其綫之極微者，令與與弧線合，而後用連比例以推至極大。又考諸率數與尖錐理相合，故用尖錐以釋弧矢，而弧矢之數理以顯。明靜菴解杜術，先取四分弧與十分弧之通弦直線之極大者，用連比例以推至千分、萬分弧通弦之極微者，考其乘除之率數，與杜術乘除之原理合，故用綴術以釋弧矢，而弧矢之數理亦出。董、明二氏，均為弧矢不祧之宗，無庸軒輊。邇百年中繼起者，如戴、徐、李三氏所著書，雖自出心裁，要皆奉董、明為師資也。吾友左君壬叟，於數學尤孜孜不倦，遇有疑難，必窮力追索，務洞澈其奧窔。嘗謂方員之理，乃天地自然之數，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以為自得新法也可。曾釋君青徐氏綴術，又釋戴鄂士求表捷術，茲又釋明靜菴弧矢捷術，而一貫以天元寄分之式，於員率一道三致意焉，可謂勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟於甲戌秋不永年而逝，凡在同人，無不嘆惜！況餘與之為兩世神交，安能無愴切耶！」
