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曾紀鴻，字慄誠，大學士國籓少子。恩賞舉人。早卒。紀鴻少年好學，與兄紀澤並精算術，尤神明於西人代數術。鋭思勇進，創立新法，同輩多心折焉。謂大衍求一術亦可以代數推求，依題演之，理正相通，撰對數詳解五卷，始明代數之理，為不知代數者開其先路。中言對數之理，末言對數之用，明作書之本意。其於常對、訥對，辨析分明。先求得各真數之訥對，復以對數根乘之，即為常對數。級數朗然，有條不紊，雖初學循序漸進，無不可相說以解焉。
夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項梅侶入室弟子。講究曲綫諸術，洞悉員出於方之理。匯通各法，推演以盡其變，譔洞方術圖解二卷，自序略曰：「自杜氏術出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細思連比例術者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術，必合諸乘方積而並求之。設不得諸乘方積遞差之故，方積何能並求？且並求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之數而後可，誠極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之數與諸乘尖堆之數，數異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數，增一根則增一較；方積之較數，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之數不變，故可省乘。若增其根差，非復單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術，俾求表者得以加減代乘除。並細繹立術之義，以俟精於術數者採擇。」
又譔致曲術一卷，曰平員，曰橢員，曰拋物綫，曰雙曲綫，曰擺綫，曰對數曲綫，曰螺線，凡七類。類皆自定新術，參差並列，法密理精。復著致曲圖解一卷，謂天為大員，天之賦物，莫不以員。顧員雖一名，形乃萬類。循員一匝，而曲綫生焉。西人以綫所生之次數分為諸類，一次式為直線；二次式有平員、橢員、拋物綫、雙曲綫四式；三次式有八十種；四次式有五千餘種；五次以上，殆難以數計矣。今但二次式四種，溯其本源，並附解諸乘方。拋物線形雖萬殊，理實一貫。諸曲綫式備具於員錐體，員錐者，二次曲綫之母也。橢員利用聚，拋物綫利用遠，雙曲綫利用散，其理皆出於平員。苟會其通，則製器尚象，仰觀俯察，為用無窮矣。今為一一解之，其目為諸曲綫始於一點終於一點第一，諸式之心第二，準綫第三，規綫第四，橫直二徑第五，兌徑亦名相屬二徑第六，兩心差第七，法線切線第八，斜規綫又名曲率徑第九，縱橫線式第十，諸式互為比例第十一，八綫第十二。
又嘗立捷術以開各乘方，不論益積、翻積，通為一術，俱為坦途，可徑求平方根數十位，成少廣縋鑿一卷。
鸞翔同治三年卒。因方積之較而悟求求弦矢之術，駸駸乎駕西人而上之，然微分所棄之常數，猶方積之方與隅也。所求之變數，猶兩廉遞加之較也。其術施之曲綫，無所不通，鸞翔猶待逐類立術，是則不能不讓西人以獨步。然西法開方，自三次式以上，皆枝枝節節為之，不及中法之一貫。鸞翔又於中法外獨創捷術，非西人所能望其項背雲。
鄒伯奇，字特夫，南海諸生。聰敏絶世，覃思聲音文字度數之源。尤精天文歷算，能薈萃中、西之說而貫通之，靜極生明，多具神解。嘗作春秋經傳日月考，謂：「昔人考春秋者多矣，類以經、傳日月求之，未能精確。今以時憲術上推二百四十二年之朔閏及食限，然後以經、傳所書，質其合否，乃知有經誤、傳誤及術誤之分。」又謂：「尚書克殷年月，鄭玄據乾鑿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，凡三百四十八年。劉歆三統術以為積四百年，近人錢塘李鋭皆主其說。今以時憲術上推，且以歲星驗之，始知鄭是劉非。」其解孟子「由周而來，七百有餘歲」句，謂閻百詩孟子生卒年月考據大事記及通鑒綱目，以孟子致為臣而歸在周赧王元年丁未，逆數至武王有天下，歲在己卯，當得八百有九年。然周共和以上年數，史遷已不能紀，可考者魯世家耳，此為劉歆歷譜所據。然將歆譜與史記比對，歆於煬公、獻公等年分多所加，共計五十二。若減其所加，則歆所謂八百有九年者，實七百五十七年耳。
又謂向來注經者，於算學不盡精通，故解三禮制度多疏失，因作深衣考，以訂江永之謬。作戈戟考，以指程瑤田之疏。以文選景福殿賦「陽馬承阿」證古宮室阿棟之制。以體積論樐氏為量，以重心論懸磬之形，皆繪圖立說，援引詳明。
又嘗謂群經註疏引算術未能簡要，甄鸞五經算術既多疏略，王伯厚六經天文篇博引傳注，亦無辨證。因即經義中有關於天文、算術，為先儒所未發，或發而未闡明者，隨時錄出，成學計一得二卷。
天象著甲寅恆星表、赤道星圖、黃道星圖各一卷，自序略曰：「甲寅春，制渾球，以考證經史恆星出沒歷代歲差之故。然製器必先繪圖，繪圖必先立表，此恆星表之所由作也。史、漢、晉、隋諸志，於恆星但言部位，至唐、宋始略有去極度數，蓋舊傳新圖，大抵據步天歌意想為之，與天象不符。國朝康熙初，南懷仁作靈台儀象志，然後黃、赤經、緯各列為表。乾隆九年，增修儀象考成，補正缺誤。道光甲辰，再加考測，為儀象考成續編，入表正座一千四百四十九星，外增一千七百九十一星，洵為明備。今逾十載，歲漸有差，故復據現時推測立表，庶繪圖製器密合天行也。」
又謂：「繪地難於算天，天文可坐而推，地理必須親歷。近人不知古法，故疏舛失實。因考求地理沿革，為歷代地圖，以補史書地誌之缺。」
又手摹皇輿全圖，自序略曰：“地圖以天度畫方，至當不易。地球經緯相交皆正角，而世傳輿圖，至邊地竟成斜方形，殊失繪圖原理，其蔽在以緯度為直線也。昔嘗為小總圖，依渾蓋儀，用半度切線，以顯跡象。然州縣不備，且內密外疏，容與實數不符，故復為此圖。其格緯度無盈縮，而經度漸狹，相視皆為半徑與餘弦之比例。橫九幅，縱十一幅，合成地球滂沱四頽之形，欲使所繪之圖與地相肖也。
又變西人之舊，作地球正變兩面全圖，其序略曰：「地形渾員，上應天度，經緯皆為員綫。作圖者繪渾於平，須用法調劑，方不失其形似。然視法有三，其一在員外視員，法用正弦，則經圈為橢員，緯圈為直線，其形中廣旁狹，作簡平儀用之。其一在員心視員，法用正切，則經圈為直線，緯圈為弧線，其形中曲旁殺，內密外疏，作日晷用之。斯二者，綫無定式，量算繁難。且經緯相交，不成正角。其邊際或太促褊，或太展長，以畫地球，既昧方斜本形，復失修廣實數，所不取也。其一在員周視員，法用半切線，經緯圈皆為平員，雖亦內密外疏，而各能自相比例，西人以此作渾蓋儀，最為理精法密。今本之為地球圖，分正背兩面。正面以京師為中線，其背面之中，即為京師對沖之處，尊首都也。旁分二十四向，審中土與各國彼此之勢，定准望也。經緯俱以十度為一格，設分率也。」
