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臣等竊聞帝王之事，莫重於歷。自黃帝迎日推策，帝堯以閏月定四時成歲，舜在璇璣玉衡以齊七政。爰及三代，歷無定法，周、秦之間，閏余乖次。西漢造《三統歷》，百三十年而後是非始定。東漢造《四分歷》，七十餘年而儀式方備。又百二十一年，劉洪造《乾象歷》，始悟月行有遲速。又百八十年，姜岌造《三紀甲子歷》，始悟以月食沖檢日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉歷》，始悟以朔望及弦皆定大小余。又六十五年，祖沖之造《大明歷》，始悟太陽有歲差之數，極星去不動處一度余。又五十二年，張子信始悟日月交道有表裡，五星有遲疾留逆。又三十三年，劉焯造《皇極歷》，始悟日行有盈縮。又三十五年，傅仁均造《戊寅元歷》，頗采舊儀，始用定朔。又四十六年，李淳風造《麟德歷》，以古歷章蔀元首分度不齊，始為總法，用進朔以避晦晨月見。又六十三年，一行造《大衍歷》，始以朔有四大三小，定九服交食之異。又九十四年，徐昂造《宣明歷》，始悟日食有氣、刻、時三差。又二百三十六年，姚舜輔造《紀元歷》，始悟食甚泛余差數。以上計千一百八十二年，歷經七十改，其創法者十有三家。
自是又百七十四年，聖朝專命臣等改治新曆，臣等用創造簡儀、高表，憑其測實數，所考正者凡七事：
一曰冬至。自丙子年立冬後，依每日測到晷景，逐日取對，冬至前後日差同者為準。得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半，又定丁丑夏至在庚子日夜半後七十刻；又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻；己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻半；庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻半。各減《大明歷》十八刻，遠近相符，前後應準。二曰歲余。自《大明歷》以來，凡測景、驗氣，得冬至時刻真數者有六，用以相距，各得其時合用歲余。今考驗四年，相符不差，仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分為今歷歲余合用之數。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道箕九度有奇。仍憑每日測到太陽躔度，或憑星測月，或憑月測日，或徑憑星度測日，立術推算。起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，與月食相符。四曰月離。自丁丑以來至今，憑每日測到逐時太陰行度推算，變從黃道求入轉極遲、疾並平行處，前後凡十三轉，計五十一事。內除去不真的外，有三十事，得《大明歷》入轉後天。又因考驗交食，加《大明歷》三十刻，與天道合。五曰入交。自丁丑五月以來，憑每日測到太陰去極度數，比擬黃道去極度，得月道交于黃道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得入交時刻，與《大明歷》所差不多。六曰二十八宿距度。自漢《太初曆》以來，距度不同，互有損益。《大明歷》則于度下余分，附以太半少，皆私意牽就，未嘗實測其數。今新儀皆細刻周天度分，每度分三十六分，以距綫代管窺，宿度余分並依實測，不以私意牽就。七曰日出入晝夜刻。《大明歷》日出入夜晝刻，皆據汴京為準，其刻數與大都不同。今更以本方北極出地高下，黃道出入內外度，立術推求每日日出入晝夜刻，得夏至極長，日出寅正二刻，日入戌初二刻，晝六十二刻，夜三十八刻。冬至極短，日出辰初二刻，日入申正二刻，晝三十八刻，夜六十二刻。永為定式。
所創法凡五事：一曰太陽盈縮。用四正定氣立為升降限，依立招差求得每日行分初末極差積度，比古為密。二曰月行遲疾。古歷皆用二十八限，今以萬分日之八百二十分為一限，凡析為三百三十六限，依垛疊招差求得轉分進退，其遲疾度數逐時不同，蓋前所未有。三曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘，今依算術句股弧矢方圜斜直所容，求到度率積差，差率與天道實吻合。四曰黃赤道內外度。據累年實測，內外極度二十三度九十分，以圜容方直矢接句股為法，求每日去極，與所測相符。五曰白道交周。舊法黃道變推白道以斜求斜，今用立渾比量，得月與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交一十四度六十六分，擬以為法。推逐月每交二十八宿度分，於理為盡。
十九年，恂卒。時歷雖頒，然其推步之式與夫立成之數，尚皆未有定稿。守敬於是比次篇類，整齊分杪，裁為《推步》七卷，《立成》二卷，《歷議擬稿》三卷，《轉神選擇》二卷，《上中下三歷注式》十二卷。二十三年，繼為太史令，遂上表奏進。又有《時候箋注》二卷，《修改源流》一卷。其測驗書，有《儀象法式》二卷，《二至晷景考》二十捲，《五星細行考五十捲》，《古今交食考》一卷，《新測二十八舍雜坐諸星入宿去極》一卷，《新測無名諸星》一卷，《月離考》一卷，並藏之官。
二十八年，有言灤河自永平輓舟逾山而上，可至開平；有言瀘溝自麻峪可至蕁麻林。朝廷遣守敬相視，灤河既不可行，瀘溝舟亦不通守敬因陳水利十有一事。其一，大都運糧河，不用一畝泉舊原，別引北山白浮泉水，西折而南，經甕山泊，自西水門入城，環匯于積水潭，復東折而南，出南水門，合入舊運糧河。每十里置一閘，比至通州，凡為閘七，距閘裡許，上重置斗門，互為提閼，以過舟止水。帝覽奏，喜曰：「當速行之。」於是復置都水監，俾守敬領之。帝命丞相以下皆親操畚鍤倡工，待守敬指授而後行事。先是，通州至大都，陸運官糧，歲若干萬石，方秋霖雨，驢畜死者不可勝計，至是皆罷之。三十年，帝還自上都，過積水潭，見舳艫敝水，大悅，名曰通惠河，賜守敬鈔萬二千五百貫，仍以舊職兼提調通惠河漕運事。守敬又言：于澄清閘稍東，引水與北霸河接，且立閘麗正門西，令舟楫得環城往來。志不就而罷。三十一年，拜昭文館大學士、知太史院事。
大德二年，召守敬至上都，議開鐵幡竿渠，守敬奏：「山水頻年暴下，非大為渠堰，廣五七十步不可。」執政吝于工費，以其言為過，縮其廣三之一。明年大雨，山水注下，渠不能容，漂沒人畜廬帳，幾犯行殿。成宗謂宰臣曰：「郭太史神人也，惜其言不用耳。」七年，詔內外官年及七十，並聽致仕，獨守敬不許其請。自是翰林太史司天官不致仕，定著為令。延祐三年卒，年八十六。
楊桓
楊桓，字武子，兗州人。幼警悟，讀《論語》至《宰予晝寢章》，慨然有立志，由是終身非疾病未嘗晝寢。弱冠為郡諸生，一時名公咸稱譽之。中統四年，補濟州教授，後由濟寧路教授召為太史院校書郎，奉敕撰《儀表銘》《曆日序》，文辭典雅，賜楮幣千五百緡，辭不受。遷秘書監丞。至元三十一年，拜監察御史。有得玉璽于木華黎曾孫碩德家者，桓辨識其文，曰「受天之命，既壽永昌」，乃頓首言曰：「此歷代傳國璽也，亡之久矣。今宮車晏駕，皇太孫龍飛，而璽復出，天其彰瑞應于今日乎！」即為文述璽始末，奉上于徽仁裕聖皇后。
