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道光十八年八月，管理欽天監事務工部尚書敬徵言：「自道光四年臣管理監務，查觀象台儀器，康熙十三年所制黃赤大距，皆為二十三度三十二分。至乾隆九年重制璣衡撫辰儀，所測黃赤大距，則為二十三度二十九分，是原設諸儀已與天行不合，今又將百年，即撫辰儀亦有差失。臣將撫辰儀更換軸心，諸儀亦量為安置。另制小象限儀一，令官生晝測日行，夜測月星，每逢節氣交食，所測實數有與推算不合者，詳加考驗。知由太陽緯度不合之數，測得黃赤大距較前稍小，其數僅二十三度二十七分。由交節時刻之早晚，考知太陽行度有進退不齊之分。夫太陽行度為推測之本，諸曜宗之。而推日行，又以歲實、氣應兩心差曰本天最卑行度為據。擬自道光十四年甲午為年根，按實測之數，將原用數稍為損益，推得日行交節時刻，似與實測之數較近。至太陰行度，以交食為考驗之大端。近年測過之月食，較原推早者多，遲者少。故於月之平行、自行、交行內量為損益，按現擬之平行，仍用諸均之舊數，推得道光十四年後月食三次。除十七年三月祗見初虧，九月天陰未測，僅測得道光十六年九月十五日月食，與新數所推相近，然僅食一次，尚未可憑，仍須隨時考驗。現■本年八月十五日月食，謹將新擬用數推算得時刻食分方位，比較原推早見分秒，另繕清單進呈。至期臣等逐時測驗，再行據實具奏。」報聞。
二十二年六月，敬徵等又言：「每■日月交食，按新擬用數推算，俱與實測相近。至本年六月朔日食，新推較之實測，僅差數秒。是新擬之數，於日行已無疑義，月行亦屬近合。今擬先測恆星，以符運度，繼考日躔、月離，務合天行。請以道光十四年甲午為元，按新數日行黃赤大距，修恆星、黃赤道經緯度表，即於測算時詳考五緯月行，俾恆星、五緯、日月交食等書，得以次第竣事。」從之。是年七月，以敬徵為修歷總裁，監正周餘慶、左監副高煜為副總裁。
二十五年七月，進呈黃道經緯度表、赤道經緯度表各十三卷，月五星相距表一卷，天漢界度表四卷，經星匯考、星首步天歌、恆星總紀各一卷，為儀象考成續編。至日月交食、五星行度俱闕而未備雲。時冬官正司廷棟撰淩犯視差新法，用弧三角布算，以限距地高及星距黃極以求黃經高弧三角，較舊法為簡捷。乾隆以後，歷官能損益舊法，廷棟一人而已。其不為歷官而知歷者，梅文鼎、薛鳳祚、王錫闡以下，江永、戴震、錢大昕、李善蘭為尤著。其闡明中、西曆理，實遠出徐光啟、李之藻等之上焉。 志二十一 時憲二
△推步算術
推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗用數之實，都為一十六術，著於篇。
平三角形者，三直線相遇而成。其綫為邊，兩綫所夾空處為角。有正角，當全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有鋭角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過四分之一，如丁戊己形之戊角。 圖形尚無資料
角之度無論多寡，皆有其相當之八綫。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減餘度之四綫也，如甲乙為本度，則丙乙為餘度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，餘弦乙己，餘矢丙己，餘割辛丁，餘切辛丙。若壬癸為本度，則醜癸為餘度，正弦癸辰，正矢壬辰，餘弦癸卯，餘矢醜卯，餘割子寅，餘切醜寅。以壬癸過九十度無正割、正切，借癸午之子未為正割，午未為正切。若正九十度醜壬為本度，則無餘度，醜子半徑為正弦，壬子半徑為正矢，亦無正割、正切，並無餘弦、餘矢、餘割、餘切。
古定全圓周為三百六十度，四分之一稱一象限，為九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑為十萬，後改千萬。逐度逐分求其八綫，備列於表。推算三角，在九十度內，欲用某度某綫，就表取之，算得某綫。欲知某度，就表對之。過九十度者，欲用正弦、正割、正切及四餘，以其度與半周相減餘，就表取之。欲用正矢，取餘弦加半徑為之。既得某綫，欲知某度，就表對得其度與半周相減餘命之。
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算平三角凡五術：
一曰對邊求對角，以所知邊為一率，對角正弦為二率，所知又一邊為三率，二三相乘，一率除之，求得四率，為所不知之對角正弦。如圖甲乙為所知邊，丁角為所知對角，乙丁為所知又一邊，甲角為所不知對角也。此其理系兩次比例省為一次。如圖乙丁為半徑之比，乙丙為丁角正弦之比。法當先以半徑為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率中垂綫乙丙。既得乙丙，甲乙為半徑之比，乙丙又為甲角正弦之比。乃以甲乙為一率，乙丙為二率，半徑為三率，求得四率，自為甲角正弦。然後合而算之，以先之一率半徑與後之一率甲乙相乘為共一率，先之二率丁角正弦與後之二率乙丙相乘為共二率，先之三率乙丁與後之三率半徑相乘為共三率，求得四率，自為先之四率乙丙與後之四率甲角正弦相乘數，仍當以乙丙除之，乃得甲角正弦。後既當除，不如先之勿乘。共二率內之乙丙與三率相乘者也，乘除相報，乙丙宜省。又共三率內之半徑與二率相乘者也，共一率內之半徑又主除之，乘除相報，半徑又宜省。故徑以甲乙為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率，為甲角正弦。
二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。
三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加為一率，相減餘為二率，所知角與半周相減，餘為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。對錶得度，與半外角相加，為對所知角旁略大邊之角；相減，餘為對所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相併，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂綫甲丁，分為兩正角形。正角為長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩鋭角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一綫徑過，其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合為鋭角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故既知一角之外，其餘二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之餘也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊於丙丁，為戊丁，兩邊相減餘。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大於戊角之半，是為半外角。以庚丁為半徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恆為正角，甲庚與庚丁圓內作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己綫，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一綫，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相減餘為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。
四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相併，與半周相減，餘即得。此其理具兩邊夾一角。
