又糾正梅文穆公句股知積術，及指識天元一，正、負開方之可知、不可知。 其糾正句股知積術也，文穆赤水遺珍稱：「有句股積及股弦和較求句股，向無其術，苦思力索，立法四條。 」其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法，文穆許之。 萊謂：「句股形等積、等弦和，帶縱立方形等基、等高闊和，皆有兩形互易。 如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股積二百一十。 若句十二，股三十五，弦三十七，句弦積亦四十九，句股積亦二百一十。 設問者暗執一形，則對者交盲兩數。 梅、丁諸公法成而不可用，蓋兩句弦較，與一句弦和，恆為連比例之三率。 其兩句弦較，即首、末二率；兩較減一和之餘，即中率；而句弦和必為三率亻並。 遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。 以四倍句股積自乘，句弦和除之，為帶縱長立方積。 以句弦和為縱，開得數為兩句弦較之中率，自乘為帶縱平方積。 又以中率與句弦和相減為長闊和，求得長闊兩根為兩句股較，用求兩句股形各數。 又同積之邊，彼此可互，三次之乘，先後可通，故四倍句股積自乘，即兩形之倍句相乘為底，兩形之股相乘為高，即猶以中末乘首。 中化為中率，再乘為立方三率，亻併為帶縱。 由是推得立方形兩高數恆為首末二率，高闊和恆為三率，亻並數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。 如高九闊十，高闊和十九，立方積九百。 若高四闊十五，高闊和亦十九，立方積亦九百，其數莫不由兩形相引而出。 故其法即命積為帶縱長立方積，以高闊和為所帶之縱。 用帶縱長立方法開得本方根，為兩形高數之中率。 與高闊和相減，餘為帶縱之平方長闊和。 中率自乘，為帶縱平方積。 用帶縱平方長闊和法開之，得長闊一根，為兩形之兩高數。 兩高與和相減，為兩闊數。 」 其指識正、負開方也，「元李冶傳洞淵九容術，撰測圓海鏡、益古演段，以明天元如積相消，其究必用正、負開方，互詳於宋秦九韶數學九章。 梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來，而正、負開方則未有闡明者。 元和李秀才鋭特為讎校，謂少廣一章，得此始貫於一。 好古之士，翕然相從。 萊獨推其有可知、有不可知。 如測圓海鏡邊股第五問‘圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數’，而李仁卿專以二百四十為答。 數學九章田域第二題‘尖田求積二百四十步與八百四十步共數’，而秦道古專以八百四十為答。 乃自二乘方以下，縷析推之，得九十五條。 凡幾根數為帶縱長闊較則可知，為帶縱長闊和則不可知。 又推得幾真數少，幾根數又多，幾平方與一立方積等多少雜糅，和較莫定。 立法以審之，以幾平方數用幾立方數除之，得數乘幾根數，以較幾真數。 若少於真數，則以幾平方為高闊較，是為可知。 若多於真數，則或幾平方為通分法，三母總數、幾真數為三母維乘之共數，幾根數為通分之共子，如二、如六、如十二。 設真數一百四十四，少二百八，根數多二十，平方積與一立方積相等，則三數皆同，是為不可知。 」 蓋以一答為可知，不止一答為不可知。 故李秀才鋭跋其書，括為三例以證明之。 謂：「隅實同名者不可知；隅實異名，而從廉正負不雜者可知；隅實異名，而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。 隅實異名，即帶縱之長闊較也，較僅一答；隅實同名，即帶縱之長闊和也，和則不止一答。 」鋭以隅實同名、異名，明一答與不止一答；萊以長闊、和較，明可知、不可知，其義一也。 著有衡齋算學七冊，考定通藝錄磬氏倨句解一冊。 陳傑，字靜弇，烏程諸生。 考取天文生，任欽天監博士，供職時憲科兼天文科，司測量。 累官國子監算學助教。 道光十九年，謝病歸，卒於家。 生平邃於算學，尤神明於比例之用。 初著輯古算經細草一卷，後十餘年，又為之指畫形象，成圖解三卷；又博採訓詁，考正其傳寫之舛譌，稽合各本之同異，別成音義一卷。 其自述比例言有曰：「比例之法，昉自九章，傳由西域，在古法曰異乘同除，在西法曰比例等。 假如甲有錢四百，易米二鬥，問乙有錢六百，易米幾何？答曰三鬥。 法以乙錢為實，甲米乘之，得數，甲錢除之，即得。 錢與米異名相乘，與錢同名相除，故謂之異乘同除，此古法也。 以甲錢比甲米，若乙錢與乙米。 凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言與者四率。 二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。 古法元、明時中土幾以失傳，不知何時流入西域。 明神宗時，西人利瑪竇來中國，出其所著算書，中人矜為創穫，其實所用皆古法，但異其名色耳。 茲以西人名色解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合轍也。 」 又有論曰：「二十一史律志無不用比例者，他如九章、緝古、十種算書，多用比例，無如古人總不言比例。 如緝古第二問，求均給積尺，欲以本體求又一形之體，忽取兩面冪之數，一用以乘，一用以除，而得數。 又第九問求員囤，第十問求員窖，忽以周徑乘除，即如方亭法求之，諸數悉得。 走作圖解，審諦久之，而始知為比例，乃明言比例以揭之。 嗣是而閲古算書者，罔弗比例矣。 」 又自道光以來，嘗親在觀象台督率值班天文生頻年實測黃、赤大距為二十三度二十七分，未經奏明，故當時未敢用。 迨甲辰歲修儀象考成續編，監臣即取此數上之，而欽定頒行焉。 晚年所譔為算法大成，上編十捲，首加、減、乘、除，次開方、句股，次比例、八綫，次對數，次平三角、弧三角。 門分類別，皆先列舊法，而以新法附之，圖說理解，不憚反覆詳明， 專為引誘初學設也。 下編十捲，則有目無書。 其言曰：「算法之用多端，第一至要為治歷，故下編言在官之事，先治歷，次出師，次工程錢糧，次戶口鹽司，次堆積丈量；儒者則考據經傳，下及商賈庶民，則貲本營運，市廛交易，持家日用，凡事無钜細，各設題為問答，以明算法之用，蓋如此之廣雲。 」下編似未成。 其門人丁兆慶、張福僖均以算名。 兆慶，字寶書，歸安人。 沉潛好學，為項學正兩邊夾角逕求對角新法圖說，謂其講解明晰，戛戛獨造。 福僖，字南坪，烏程諸生。 精究小輪之理，著有慧星考略。 時曰淳，字清甫，嘉定人。 精算術。 發明古人術意，無不入微。 鹹豐末，與長沙丁取忠同客胡林翼幕府，每與商榷數理，見丁氏數學拾遺之百鷄術，謂與二色方程暗合。 因為廣衍，立二十八題，以「舊學商量加邃密、新知培養轉深沉」十四字識其上下，為十四耦。 諸題皆借方程為本術，並述大衍求一術以博其趣，作百鷄術衍二卷。 自序略曰：「張丘建算經鷄翁鷄母題問，甄、李兩註及劉孝孫草，皆未達術意，不可通。 近焦理堂所釋尤誤。 讀吾友丁君果臣數學拾遺，設術與二色方程暗合，乃通法也。 駱氏藝遊錄用大衍求一術，以大小較求中數，取徑頗巧，然遇較除共較實適盡者，則不可求。 方程術則遇法除實得中數，不盡者以分母與減率相求而齊同之，無不可得。 駱氏殆未知有方程本術耳。 夫題祗本經一術，算理之微妙，不如孫子不知數一問，而術文各隱秘。 彼則但舉用數，此亦僅著加減三率，於前半段取數之法皆闕如。 豈古人不傳之秘，必待學者深思而自得乎？孫子求一術，至宋秦道古發之，獨是題襲謬傳訛，無借方程以問途者。 曰淳蓄疑既久，今年春與果臣連榻鄂城，復一商榷，別後數月乃通之。 怡然渙然，了無滯凝，亦窮愁中一快事也。 因衍方程術為數學拾遺補，求負數法及加減率求答數法，附述求一術為藝遊錄補。 以中小較求大數法，及大中較、大小較互求得中數、小數法，引伸鈎索，溫故知新，庶足以大暢厥旨乎！易翁、母、雛為大、中、小，設數不必以百，而統以百鷄命之者，識斯術所自昉也。 」 李鋭，字尚之，元和諸生。 幼開敏，有過人之資。 從書塾中檢得算法統宗，心通其義，遂為九章、八綫之學。 因受經於錢大昕，得中、西異同之奧，於古歷尤深。 自三統以迄授時，悉能洞澈本原。 第446頁完，請繼續下一頁。喜歡 寫心網 writesprite.com 作品，請記得按讚、收藏及分享
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《清史稿 下》
第446頁
